Reader

SUPERIORUM NUMERORUM NOTATIO.

Quia superiorum numerorum descriptio fere ita decurrit, ut modo quidem duos tonos, modo tres sequatur. Sed placuit et tales hic subscribere, qui continua duorum tonorum superius et semitonii ostendant tetrachorda, ut ad horum similitudinem quilibet quincuplum notatum dis diapason possit continuare, vel intendendo per superius ostensam regulam, hos ad duplos, quadruplos, octavos et reliquos; vel remittendo ad subduplos, subquadruplos, suboctavos et caetera, ut aut denominatio augeatur, et quantitas minuatur, aut dum quantitas augetur, denominatio minuatur.

Igitur hi, quorum est initium C. XCII., CC. XVI, CC. XLIII., CC. LVI., implent integrum diatessaron, ut vero deinceps diapente integris perficiatur numeris, quibus duabsu symphoniis impleatur diapason, fieri nequit. Sequitur enim numerus CC. LXXXVIII. quem perficit numerus CC. LVI. cum octava sua. Is igitur cum octava sua explet numerum CCC. XXIIII., quorum quia octava non invenitur, superior numerus, id est, CC. LXXXVIII. octies multiplicatur, et in II, CCC. IIII. consurgit. Non quia ante hos, scilicet II. CCC. IIII. non possint alii inveniri, in quibus apparere possit diapason integris numeris; sed quia necdum chromaticum, et enarmonium, sed nec saltem trite synnemenon vel paramese diatonici ante hos numeros pleniter, id est, II. CCC. IIII. possit inveniri. Insuper talis est is numerus, scilicet CC. LXXXVIII., ut divisus per medias, quartas, octavas et deinceps, trigesimam secundam habeat VIIII., qui aeque ad trigesimam secundam superioris, CC. LVI., quae est VIII. epogdoa ratione jungatur, inter quos duos numeros CC. LVI., et CC. LXXXVIII., quos constat esse Platonicos, et finis est diatessaron, et initium diapente, quae duae diapason perficiunt symphoniam. Incipientibus itaque primum diapason a C. XCII. occurrit sextus terminus, id est, CCC. XXIIII. qui non habet octavam; incipientibus aliud diapason a DCCC. LXXXIIII., vel incipientibus quartum diapason a I. D. XXXVI. in nullo horum, sicut nec in primo occurrit paramese, id est, non possunt continuari duo tetrachorda conjuncta hyperboleon et diezeugmenon. Item incipientibus diapason a CC. LXXXVIII, vel aliud diapason a D. LXXVI. in neutro occurrit trite synnemenon; quod cum eveniat, diligens computator praevidebit in numeris ordinatim dispositis, vel ad efficiendum diatessaron quartum numerum ante parameses locum, id est, nete diezeugmenon, non habere tertiam, vel ad efficiendum diapente, nec proximum ante posse dividi per octavam, id est, trite diezeugmenon, nec quintam, id est trite hyperboleon per medium; ad II. CC. IIII. perventum est, omnes symphoniae, et omnia tetrachorda vel pentachorda omnium generum in infinitum occurrent. Qui vero attentior factus dixerit, a I. C. LII. etiam incipientibus omnia tetrachorda omnium generum bene successura? et nos concedimus. Sed forte quia numerus trite synnemenon, id est, II. C. LXXXVII. impar erat casurus, auctorem et hos subduplos, sicut et superiores subquadruplos et suboctuplos devitasse, cum incipienti a II. CCC. IIII. nullus peinceps, sed nec octavae vel differentiae eorum cadant in imparem, numerus, his breviter adscriptis ostendendum est, jam qui ex supra ordinatis numeris propinquius per quemlibet communem unum efficiant quindecim tonorum in omni genere differentias, et is sit communis duodenarius, quem omnino constat musicum, ut ad eamdem similitudinem eodem pro existimatione paulum augmentato, scilicet duodenario, praescripti quilibet ad diapason vel bisdiapason numeri pertinentes, fistularum ostendant figuras. F. II. CCC. IIII. p. XII. XXIIII. fiunt CC. LXXXVIII. E. II. D. XCII. p. XII. XXVII. fiunt CCC. XXIIII. D. II. DCCCC. XVI. p. XII. XIII. fiunt C. LVI. C. III. LXXII. p. XII. XXXII. fiunt CCC. LXXXIIII. B. III. CCCC. LVI. p. XII. XXXVI. fiunt CCCC. XXXII. A. III. DCCC. LXXXVIII. p. XII. XVII. ςσ. fiunt CC. VIII. G. IIII. XCVI. p. XII. XLII. ςς. fiunt D. XII. F. IIII. DC. VIII. p. XII. XLVIII. fiunt D. LXXVI. E. V. C. LXXXIIII. p. XII. LIIII. fiunt DC. XLVIII. D. V. DCCC. XXXII. p. XII. XXVI. fiunt CCC. XII. C. VI. C. XLIIII. p. XII. LXIIII. fiunt DCC. LXVIII. B. VI. DCCCC. XII. p. XII. LXXII. fiunt DCCC. LXIIII. A. VII. DCC. LXXVI. p. XII. XXXIIII. ςς. fiunt CCCC. XVI. G. VIII. C. XCII. p. XII. LXXXV. ςσ. fiunt I. XXIIII. F. VIIII. CC. XVI. p. XII. XCVI. fiunt I. C. LII.

Ab isto, qui subscribitur, numero, ab excellentissimo doctore W. reperto, potest intendi monochordum cum fistulis organorum sine ulla adjectione minutiarum, III. LXXII.

Igitur verbi gratia per XII. XXIIII. ducti faciunt differentiam CC. LXXXVIII. qui sunt octava primi numeri II. CCC. IIII., quae differentia primo termino juncta efficit secundum terminum II. D. XCII. sic deinceps. Sed hanc octavam primi numeri quasi communem vocemus diametrum fistularum, sicut dictum est de chordis, ut ad taciturnitatem usque gravitas ipsa descendat, atque in acumine nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, ita et in fistulis haec rata videtur mensura, ut minor octies, media decies sexies, maxima tricies et bis hanc octavam vel dimidiam habeat. Ita F. octies diametrum habeat; E. novies; D. decies diametrum et septimam diametri; C. decies diametrum et bisse diametri ϛϛ; B. duodecies diametrum; A decies et ter diametrum et medietatem; G. decies et quater diametrum, et duas nonas diametri; F. decies sexies diametrum; E. decies octies diametrum; D. vigesies diametrum, et quartam diametri; C. vigesies et semel diametrum et tertiam diametri; B. vigesies et quater diametrum; A. vigesies septies diametrum. G. vigesies octies diametrum, et quatuor nonas diametri, id est, ϛσ. ξ. et ω; F. trigesies et bis diametrum. Liquet igitur, quod numeri praescripti a XXIIII. usque ad duplum XLVIII. efficiant diapason, et differunt per duodenarium computati, quae differentiae singulis jam inventis a II. CCC. IIII. numeris additae, efficiunt quosque sequentes, quaeque in unum junctae efficiunt eundem II. CCC. IIII. numerum; sicut et illi, a XXIIII. qui per duodenarium ducti eas efficiunt, si jungantur, C. XCII. repraesentant, qui et ipsi duodecies ducti, II. CCC. IIII. restituunt. Aeque in alio diapason evenit, iidem numeri a XLVIII. usque ad duplum, id est, XCVI. efficiunt secundum diapason et differentias per duodenarium computati, quae differentiae singulis jam inventis a IIII. DC. VIII. numerum, sicut et illi a XLVIII. qui per duodenarium ducti eas efficiunt, si junguntur, repraesentant CCC. LXXXIIII. qui et ipsi duodecies ducti IIII. DC. VIII. restituunt. Medius autem in utroque diapason tam in numeris, quam et in mensuris vel monochordi vel fistularum is est, qui ad primum quidem vel octavum est quintus, ad octavum vero vel quintum decimum est subquartus, ita ut ad alterum sit sesquialter vel diapente, ad alterum sesquitertius vel diatessaron, et unus dicatur sescuplaris, alter triplus, utriusque vero diapason sibi comparatus sit duplus. Sicut enim octavus ad primum, sicut quintus decimus ad octavum, ita duodecimus ad quintum duplicitatis obtinet rationem. Medios autem in utroque diapason quintum et duodecimum esse, ostendere possunt vel differentiae, vel numeri, per duodenarium easdem facientes, ut quatuor vel differentiae vel numeri a primo ad quintum, vel ab octavo ad duodecimum simul juncti, non efficiunt plures quam tres aeque numeri vel differentiae si jungantur vel a quinto ad octavum, vel a duodecimo ad quintum decimum. Hoc ideo dictum sit, quod quantumlibet in mensuris fistularum octava supergreditur primam, vel quinta decima octavam plusquam duplum, differentiam tamen totam quaerit vel a prima ad octavam, vel ab octava ad duodecimam. Quintam in primo diapason, vel duodecimam in secundo divide mediam, et cuique parti aequam ex ea relinque portionem. Data igitur primae vel minori fistulae qualibet longitudine, sed melius videtur, diametro foraminis octies longitudini dato, ubicunque deinceps tonus est faciendus, major habeat minorem totam, et diametrum, et diametri ejus octavam. In diatessaron major minorem et ejus tertiam, et insuper diametri tertiam. In diapente major minorem, et ejus mediam, et insuper diametri mediam. In diapason major minorem duplo, et totum insuper diametrum. Caeterae vero facile per numeros occurrent. Est autem diametrum vel circuli, qui est in foramine ex ampliori parte, medietas, vel foraminis transversitas ex deductiori parte, qua inspiratur fistula, et cui foramini subjacet una. Ut autem minoribus id ostendatur numeris, sed tamen interruptis secundum symphonias, ita erit figurandum. XVI. VIIII XXV. VIIII. XXXIIII. XVIIII. σ. LIII. σ. XVIIII. σ. LXXII. ζ.

Hi numeri interruptim positi sub exemplo consonantias tantum monastrant, XVI. namque ad XXXIIII. primum diapason; XXXIIII. ad DXXII. et quadrans secundum diapason; XXV. in medio primi diapason ad alterum diapente, ad alterum diatessaron est, sicut et LIII. et octavum σ. in medio secundi diapason ad alterum diatessaron, ad alterum diapente est; VIIII. et VIIII., et XVIIII. σ. et XVIIII. σ. sunt differentiae. Sed si positos hos numeros multoties duxeris, qui interponendi sunt, mox integri occurrent, secundum regulam infra demonstratam. Sicut in monochordo monstratum est, ita erit et in fistulis, ut in primo diapason quinta, in secundo duodecima sint mediae et in terminis scilicet a quinta in differentiis, et nihilominus in mensuris, id est, inter primam et octavam sit quinta, inter octavam et quintam decimam sit duodecima, et sicut octava non solum duplicitate, sed et diametro vincit primam, ita et quintadecima non modo duplicitate sed et diametri duplo, et insuper diametri ipsius octava superat octavam, ac per hoc continget, primam a quintadecima non tantum quadruplicitate, sed etiam quadruplicato diametro, insuper et octava diametri superari. Aliter enim non fieret, ut sicut ab octava prima, vel a quinta decima octava plus quam duplicitate vincatur. Habet autem differentiam primi diapason duplo, et insuper diametro et octava diametri. Disponantur et hi numeri fistulis apti cum differentiis, quas quidam communes numeri per alios ex supradictis constituant, sicut et in mono chordo. F. II. CCC. IIII. p XIII. ς. XXIIII. fiunt CCC. XXIIII. E. II. DC. XXVIII. p XIII. ς. XXVII. fiunt CCC. LXIIII. ς. D. II. DCCCC. XCII. ς. p XIII. ς. XIII. fiunt C. LXXV. ς. C. III. C. LXVIII. p XIII. ς. XXXII. fiunt CCCC. XXXII. B. III. DC. p XIII. ς. XXXVI. fiunt CCCC. LXXXVI. A. IIII. LXXXVI. p XIII. ς. XVII. ςσ. fiunt CC. XXXIIII. G. IIII. CCC. XX. p XIII. ς. XLII. ςς. fiunt D. LXXVI. F. IIII. DCCC. XCVI. p XIIII. ςσ. et χ. XLVIII. fiunt DC. LXXXVIII. ς. E. V. D. LXXXIIII. ς. p XIIII. ςσ. et χ. LIIII. fiunt DCC. LXXIIII. ς. etc. D. VI. CCC. LVIIII. etc. p XIIII. ςσ. et χ. XXVI. fiunt CCC. LXXII. ςςς. etc. C. VI. DCC. XXXII. p XIIII. ςσ. et χ. LXIIII. fiunt DCCCC. XVIII. B. VII. DC. L. p XIIII. ςσ. et χ. LXXII. fiunt I. XXXII. ς. et ζ. A. VIII. DC. LXXXII. ς. et ζ. p XIIII. ςσ. et χ. XXXIIII. ςς. fiunt CCCC. XCVII. ζ. G. VIIII. C. LXXX. p XIIII. ςσ. et χ. LXXXV. ςσ. fiunt I. CC. XXIIII. F. X. CCCC. IIII.

Iidem numeri et differentiae cyfris arabicis. F. 2304. p 13. 1/ 2. 24. fiunt 324. E. 2628. p 13. 1/ 2. 27. fiunt 364. 1/ 2. D. 2992. 1/ 2. p 13. 1/ 2. 13. fiunt 175. 1/ 2. C. 3168: p 13. 1/ 2. 32. fiunt 432. B. 3600. p 13. 1/ 2. 36. fiunt 486. A. 4086. p 13. 1/ 2. 17. 1/ 3. fiunt 234. G. 4320. p 13. 1/ 2. 42. 2/ 3. fiunt 576. F. 4896. p 14. 1/ 3. et 1/ 96. 48. fiunt 988 1/ 2. E. 5584. 1/ 2. p 14. 1/ 3. et 1/ 96. 54. fiunt 774 1/ 2. et 6/ 96 D. 6359. 6/ 96. p 14. 1/ 3. et 1/ 96. 26. fiunt 372. 10/ 12. et 10/ 96. hoc est 90/ 96. C. 6732. p 14. 1/ 3. et 1/ 96. 64. fiunt 918. B. 7650. p 14. 1/ 3. et 1/ 96. 72. fiunt 1032. 1/ 2. et 1/ 4. A. 8682. 1/ 2. 1/ 4. p 14. 1/ 3. et 1/ 96. 34. 2/ 3. fiunt 497 1/ 4. G. 9180. p 14. 1/ 3. et 1/ 96. 85. 1/ 3. fiunt 1224. F. 10404.

Et hic sicut in superioribus per XIII σ. multiplicatus est numerus XXIIII. et caeteri, et fecerunt differentias, quae inventis numeris vel terminis additae, fecerunt sequentes terminos in primo duntaxat diapason; in secundo vero per XIIII. et trientem et nonagesimam sextam multiplicati numeri XLVIIII. LIIII., et caeteri itidem fecerunt; sed quia difficile erat divisioni minutias has χ, id est, nonagesimam tam bisse addere, vel invicem ducere, placuit intermittere, cum per differentias primi diapason junctas, quae medietatem sui dant a prima ad quintam et a quinta ad octavam, in secundo diapason eodem modo quantulum desit, facile possit agnosci. Si enim differentias, quae sunt ab octava ad quintam decimam collegeris, et medietatem earum octavae ad efficiendam duodecimam addideris, item alias medietatem inventae duodecimae ad efficiendam quintam decimam adjunxeris, invenies, propter minutias neglectas duodecimam non plus quam unicam duodecimam, et decimam quintam non plus quam duas duodecimas perdidisse. Poteramus et nos eas minutias computare, sed totiens quilibet praescriptum numerum potest ducere, ut omnia integris numeris valeat definire. Igitur ut breviter et interruptim per symphonias perstringamus, habet prima octies diametrum, quarta undecies, quinta duodecies et semissem; vel ita, octava decies septies diametrum, duodecima vigesies sexies diametrum, et semissem, et insuper decimam sextam diametri, quinta decima trigesies sexies diametrum, et ejus octavam. Caeterarum, quae interruptae sunt, numerum, et multa necessaria praetermittamus, ut et fastidium devitemus, et ad minutias inveniendas lectoris animum acuamus.

A summa quacunque locata vigesimam septimam subtrahas, ex relicta decimam octavam quaeras, inventam integrae summae adjungas, et semitonium habebis.

Deinde Apotome invenire si vis, semitonii differentiae tertiam, et tertiae centesimam quartam, quae est totius differentiae trecentesima duodecima, cum ipsa tota differentia ultimo termino componas, et tonum ad primum( terminum), Apotome ad secundum habebis.

Ad tonum et semitonium continuandum, cujuscunque numeri dati sextam sumas, deinde sextae nonam, quae est totius quinquagesima quarta, has simul partes in unum conjungas et tonum cum semitonio habebis.

Ad duos tonos continuandos quocunque numero dato quartam ipsius accipias, deinde quartae decimam sextam, id est, totius sexagesimam quartam, et has simul partes et duos tonos habebis.